2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)

绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 6 页. 共 考试时间 120 分钟. 满 分 150 分. 答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题 卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , xn 的标准差 ( x1  x) 2  ( x2  x) 2    ( xn  x) 2 s n 球的面积公式 其中 x 为样本平均数 S  4R2 第Ⅰ卷(选择题 注意事项: 共 60 分) 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 2.第Ⅰ卷只有选择题一道大题. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 1  2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1 i B. A. 3 2 1 2 C. 3 D. 1 2.已知 R 是实数集, M   x B. 0,2  2   1, N  y y  x  1  1 ,则 N  C R M   x  C.  D. 1,2   A. (1,2) 3.现有 10 个数,其平均数是 4 ,且这 10 个数的平方和是 200 ,那么这个数组的标准差是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 则 4  , S 2 4.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2  a5  0 A. 5 B. 8 C.  8 S D.15 -1-

图1

5.已知函数 f ( x )  sin( 2 x  的值是 A.  6 ) ,若存在 a  (0,  ) ,使得 f ( x  a)  f ( x  a) 恒成立,则 a  6 B.  3 C.  4 D.  2 6.已知 m 、 n 表示直线,  ,  ,  表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为 (1)     m, n   , n  m, 则   (2)    ,    m,     n, 则n  m (3) m   , m   , 则  ∥  (4) m   , n   , m  n, 则   A. (1)(2) 、 B. (3)(4) 、 C. (2)(3) 、 D. 、 (2)(4) 7.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C ,若 OA  3OB  2OC , 则 | AB | | BC | 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知三角形 ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 角形的周长是 A. 18 9.函数 f ( x )  lg x  A. 0,1 B. 21 C. 24 D. 15 3 ,则这个三 2 1 的零点所在的区间是 x C. 10,100 B. 1,10 , D. (100 ) 2 2 10.过直线 y  x 上一点 P 引圆 x  y  6 x  7  0 的切线,则切线长的最小值为 A. 2 2 B. 2 3 2 2 C. 10 2 D. 2 11.已知函数 f ( x)  x  ax  2b .若 a, b 都是区间 0,4 内的数,则使 f (1)  0 成立的概率是 A. 3 4 B. 1 4 C. 3 8 D. 5 8 12.已知双曲线的标准方程为 x2 y2   1 ,F 为其右焦点,A1 , A2 是实轴的两端点,设 P 为 9 16 双曲线上不同于 A1 , A2 的任意一点,直线 A1 P, A2 P 与直线 x  a 分别交于两点 M , N ,若 -2-

图2

FM  FN  0 ,则 a 的值为 A. 16 9 B. 9 5 C. 25 9 D. 16 5 第Ⅱ卷(非选择题 注意事项: 共 90 分) 1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.书写的答 案如需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________. 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示, 其 点都在一个球面上,则该球的表面积为__________. 开始 a  2, i  1 i  10 是 否 顶 输出 a a 1 1 a i  i 1 1 1 1 第 14 题图 15.地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R  第13题图 结束 2 (lg E  11.4) .2011 年 3 月 11 日,日 3 本东海岸发生了 9.0 级特大地震,2008 年中国汶川的地震级别为 8.0 级,那么 2011 年地震 的能量是 2008 年地震能量的 16.给出下列命题: ①已知 a , b 都是正数,且 ,m 倍. a 1 a  ,则 a  b ; b 1 b ②已知 f ( x ) 是 f ( x ) 的导函数,若 x  R , f ( x)  0 ,则 f (1)  f (2) 一定成立; ③命题“ x  R ,使得 x  2 x  1  0 ”的否定是真命题; 2 ④“ x  1, 且y  1 ”是“ x  y  2 ”的充要条件. 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) -3-

图3

 x x x ) 与 b  ( 3 sin  cos , y ) 共线,且有函数 y  f (x) . 2 2 2 2  2 x) 的值; (Ⅰ )若 f ( x)  1 ,求 cos( 3 已知向量 a  (1, cos  (Ⅱ)在 ABC 中,角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C  c  2b ,求函数 f (B ) 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 an  的前 n 项和为 S n ,公差 d  0, 且S3  S5  50, a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ )求数列 an  的通项公式; (Ⅱ )设   bn   是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 bn  的前 n 项和 Tn .  an  19.(本小题满分 12 分) BE CD  2 ,  面ABC , CD 已知四棱锥 A  BCDE , 其中 AB  BC  AC  BE  1 , ∥ CD , F 为 AD 的中点. (Ⅰ )求证: EF ∥面 ABC ; (Ⅱ )求证:面 ADE  面ACD ; (III)求四棱锥 A  BCDE 的体积. C B A D F E A 20.(本小题满分 12 分) 在某种产品表面进行腐蚀性检验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间对应的一组数据: -4-

图4

时间 x (秒) 深度 y (微米) 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 现确定的研究方案是:先从这 6 组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ )求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率; (Ⅱ )若选取的是第 2 组和第 5 组数据,根据其它 4 组数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程 ˆ y 4 139 x ,规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差 13 26 均不超过 2 微米,则认为得到的线性回归方程是可靠的,判断该线性回归方程是否 可靠. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x )  ax  b 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 x  y  3  0 . x2 1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x)  ln x ,求证: g ( x)  f ( x) 在 x  [1,) 上恒成立. 22.(本小题满分 14 分) 实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点,其焦点 F , F2 在 x 轴上.抛物线的顶点在原点 O ,对 1, 称轴为 y 轴,两曲线在第一象限内相交于点 A ,且 AF1  AF2 ,△ AF F2 的面积为 3 . 1 (Ⅰ )求椭圆和抛物线的标准方程; (Ⅱ )过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于 B, C ,若 AC  2 AB ,求直线 l 的斜率 k . y A F1 C -5- B o F2 x

图5

参考答案及评分标准 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) BDBAD BBDBC CB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. 2 三.解答题 14. 19  3 3 15. 10 2 16. ①③ 17. (本小题满分 12 分)   解: )∵ a 与 b 共线 (Ⅰ ∴ 1  x x 3 sin  cos 2 2 cos y x 2 x x x 3 1  1 y  3 sin cos  cos2  sin x  (1  cos x)  sin(x  )  „„„„3 分 2 2 2 2 2 6 2 ∴ f ( x)  sin( x   6 ) cos( 2    1  2 x)  cos 2(  x)  2 cos 2 (  x)  1  2 sin 2 ( x  )  1   3 3 3 6 2 „„„„„„„„„„„„„„„„ 1  1  1 ,即 sin( x  )  2 6 2 „„„„„„„„„„„„„„„„ 4分 6分 (Ⅱ )已知 2a cos C  c  2b 由正弦定理得: 2 sin A cosC  sin C  2 sin B  2 sin( A  C ) 2 sin A cosC  sin C  2 sin A cosC  2 cos A sin C  1 ,∴在 ABC 中 ∠ A  3 2  1 f ( B )  sin( B  )  6 2  2   5 ∵∠ A  ∴0  B  ,  B  3 3 6 6 6 1  3 ∴  sin( B  )  1 , 1  f ( B)  2 6 2 ∴ cos A  „„„„„„„„„„„„„„„„ 8分 „„„„„„„„„„„„„„„„ 10 分 -6-

图6

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